Równanie Erdősa-Strausa. Rekord osobisty, 2010-06-15

· blog
Authors

WSTĘP

Tak jak w sporcie – istnieją rekordy światowe i rekordy osobiste. Będę kontynuował notę 4-parametrowa seria rozwiązań równania Erdősa-Strausa.

Niech:

        π(t X Y Ź)  :=  4*t*X*Y – (X+Y)/Ź

Otóż dla każdej liczby naturalnej p, dla której istnieją liczby naturalne t X Y Ź, takie że Ź jest dzielnikiem sumy X+Y, oraz spełniające:

        p  =  π(t X Y Ź)

istnieje rozwiązanie równania Erdősa-Strausa (co by to nie znaczyło – grunt, że p spełnia hipotezę panów E-S). W cytowanej nocie wyraziłem przypuszczenie, że każda liczba naturalna p > 1 należy do naszej 4-parametrowej serii. Wystarczy to dowieść dla liczb pierwszych p, gdyż zachodzi tożsamość:

        k * π(t X Y Ź)  :=  π(t  k*X  k*Y  k*Ź)

Ponadto w tejże nocie podałem następujące serie 1-parametrowe, zawarte w 4-parametrowej:

  1. 3*n-1  =  π(1 1 n 1)
  2. 4*n-1  =  π(n 1 1 2)
  3. 8*n-3  =  π(n 1 2 1)
  4. 7*n-1  =  π(2 1 n 1)
  5. 7*n-2  =  π(1 2 n 1)
  6. 7*n-4  =  π(1 1 2*n-1 2)
  7. 11*n-1  =  π(3 1 n 1)
  8. 11*n-3  =  π(1 3 n 1)
  9. 11*n-4  =  π(1 1 3*n-1 3)
  10. 15*n-2  =  π(2 2 n 1)
  11. 15*n-8  =  π(2 1 2*n-1 2)
  12. 19*n-1  =  π(5 1 n 1)
  13. 19*n-4  =  π(1 1 5*n-1 5)
  14. 19*n-5  =  π(1 5 n 1)

Serie 1-parametrowe, będące postępami arytmetycznymi, otrzymujemy powyżej z 4-parametrowej przez podstawienie za cztery parametry wyrażeń liniowych lub stałych jednej zmiennej (nazwanej powyżej n). Przy tym niestałe jest tylko jedno z wyrażeń, zastępujących t lub X lub Y. Ponieważ X Y występują symetrycznie, to w takiej sytuacji możemy za X podstawiać zawsze stałą. Można też niestałe wyrażenie liniowe podstawić za Y i za Ź. W poprzedniej notce akurat tego nie uczyniłem, ale w ogóle, to owszem, i zamierzam przy następnych okazjach.

Krotne, pożyteczne serie – postępy arytmetyczne a*n-b – dla ustalonego a występują szczególnie, kiedy współczynnik a=-1 mod 4 jest liczbą pierwszą, i jednocześnie a+1rozkłada się na iloczyn wielu czynników.

Połączony efekt niektórych serii

Pierwsze trzy serie (mod 3 4 8 ) pozostawiają jako niesprawdzone jedynie liczby pierwsze p=1 mod 24. To są dokładnie te same liczby, ktore dają następujące reszty z dzielenia przez 120=5*24=8*15:

        1  25  49  73  97

Liczby równe 25 mod 120 dzielą się przez 5 (i są różne od 5), więc nie są pierwsze. Ponadto, ponieważ istnieją dwie serie liczb p mod 15, mianowicie -2 oraz -8 mod 15, to liczby p równe 73=-2 mod 15 oraz 97=7=-8 mod 15 dopuszczają π-reprezentację (nalężą do naszej 4-parametrowej serii). Zatem

    niesprawdzone są co najwyżej liczby pierwsze  p=1 lub 49 mod 120.

Następnie możemy zawęzić powyższy zakres niesprawdzonych liczb pierwszych, biorąc pod uwagę 1-parametrowe π-serie mod 7, poprzez analiże liczb pierwszych mod 7*120=840. Dwie reszty 1 oraz 49 mod 120 tłumaczą się na 2*7=14 reszt mod 840. Spośród nich dwie reszty dzielą się przez 7, więc nie dają liczb pierwszych (lecz podzielne przez 7; przy czym 7 też nie dają), oraz sześć reszt należy do sprawdzonych π-serii mod 7. Ostaje się jedynie sześć następujących reszt mod 840:

        1  121  169  289  361  529

Wszystkie powyższe liczby są pełnymi kwadratami!!! – mianowicie kwadratami liczb odpowiednio  1 11 13 17 19 23,  czyli 1 oraz (wszystkich!) kolejnych liczb pierwszych, mniejszych od pierwiastka kwadratowego z 840, które nie są dzielnikami liczby 840.

Niesprawdzone dotąd liczby pierwsze p < 216

1201 2521 2689 3049 3361 3889 5209 5569 7681 8761
9241 9601 9769 12049 12601 12721 13729 14281 14449 15241
16249 16921 18481 19009 19441 19681 20161 20521 21001 21121
21169 21529 21841 21961 22369 24481 26041 26161 28921 29401
29569 29761 30241 31081 31249 32089 33049 33289 33889 33961
34729 35281 35401 35569 35809 37321 37489 38329 39769 41281
42169 42961 43969 44641 44809 47041 47161 47569 47881 48049
48409 48889 49009 49921 51241 51361 51769 52201 52369 53089
53881 54049 54121 56401 57649 58129 58921 59809 59929 60601
60649 61609 61681 64849 64969 65521

Ostało się w tym momencie tylko 96 liczb pierwszych p < 216. Najmniejsza niesprawdzoną dotąd liczbą pierwszą jest p=1201.

Dalsze serie 1-parametrowe

Przy każdej grupie serii, o tej samej różnicy postępu arytmetycznego, podam też tabelkę i liczbę liczb pierwszych p < 216, które oparły się dotychczasowym podbojom.

Serie  23*n-a  dla  a = 1 2 3 4 6 8 12 13 16

  • 23*n-1  =  π(6 1 n 1)
  • 23*n-2  =  π(3 2 n 1)
  • 23*n-3  =  π(2 3 n 1)
  • 23*n-4  =  π(1  1  6*n-1  6)
  • 23*n-6  =  π(1 6 n 1)
  • 23*n-8  =  π(2  1  3*n-1  3)
  • 23*n-12  =  π(3  1  2*n-1  2)
  • 23*n-13  =  π(1  3  2*n-1  2)
  • 23*n-16  =  π(1  2  3*n-2  3)

Ostały się liczby pierwsze:

1201 2521 3049 3361 3889 5569 9241 12721 14449 16921
18481 19441 19681 20161 20521 21001 21169 21529 21841 22369
24481 26041 29569 31081 32089 33289 33961 35401 39769 43969
44809 47041 47569 47881 48049 48889 51361 52201 53089 54121
56401 58129 58921 59809 59929 61681 64849

Jest ich 47.

Serie  31*n-a  dla  a = 1 2 4 8

  • 31*n-1  =  π(8 1 n 1)
  • 31*n-2  =  π(4 2 n 1)
  • 31*n-4  =  π(2 4 n 1)
  • 31*n-8  =  π(1 8 n 1)
    • Ostały się liczby pierwsze:

      2521 3049 3361 3889 5569 9241 12721 14449 16921 18481
      19441 20161 21001 21529 21841 22369 24481 26041 29569 31081
      32089 33289 33961 43969 44809 47041 47569 47881 48889 51361
      52201 53089 54121 56401 58129 58921 59809 59929 61681 64849

      Jest ich 40. Najmniejsza niesprawdzona liczba pierwsza podskoczyła z 1201 na p=2521.

      Seria  35*n-3

              35*n-3  =  π(3 3 n 1)

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s

  1. WhoWheWha (in progress)
  2. The sharpest minds ever
  3. California – State – USA – Knol Authors – Knols – Education
  4. Money — economy (part 1)
  5. “california rains”
  6. Pairs, Kuratowski pairs, and reality
  7. Number Theory — congruences
  8. Matematyka – esej
  9. Congruence x^2 ≡ -1 mod p (Euler), and a super-Wilson theorem.
  10. Dabanese – dictionary (1)
  11. Dabanese syntax
  12. Dabanese — a general introduction
  13. Tentative dabanese dictionary (1)
  14. Fractions and diophantine approximations, I
  15. Mathematics — index
  16. Reflections on mathematics (migma)
  17. Special characters & HTML strings
  18. Infinitude of primes – 1
  19. Reference
  20. Geometric progression
  21. Ergänzungssatz: x^2 ≡ 2 mod p; and more.
  22. Primes in arithmetic progressions (part I)
  23. Euler introduction to Gauss quadratic reciprocity
  24. Trigonometry of a triangle–sinus & cosinus
  25. Wlodzimierz Holsztynski, knolog
  26. Tichonov product
  27. Factorization in semigroups
  28. Nowe knole
  29. Knole w języku polskim
  30. Metric spaces — introduction
  31. Topology — compact spaces II
  32. Topology–singular spaces
  33. the last summer concert in san jose
  34. California in poetry
  35. threeway
  36. san jose blues
  37. san francisco blues
  38. open your arcs
  39. Tom Wachtel, [I was running out of …]
  40. Tom Wachtel, [on the sand at…]
  41. “september”
  42. Topological sequences and convergence
  43. Topology–Arkhangelskii nets
  44. Topology–compact spaces I
  45. Topological product of two spaces. Hausdorff spaces.
  46. Trigonometry
  47. Total logarithmic series
  48. “affinity”
  49. [close your eyes…]
  50. “San Jose”
  51. willow girl
  52. heaven california
  53. “phase transitions”
  54. “california?”
  55. “dimensions”
  56. bachelor life
  57. “spring in california”
  58. [day -]
  59. Singular product of two spaces. Double limit.
  60. Art of Agreeing — painless tax
  61. The Birkhoff lattice of topologies
  62. Left topologies
  63. Topology — Kolmogorov axiom
  64. Topological subbases and bases
  65. Complexity of sorting
  66. ∞-Metrics
  67. Even perfect numbers and Mersenne primes
  68. Fermat sequence base b
  69. Harmonic series & Euler’s gamma
  70. 4-Baroque numbers with utmost 4 different prime divisors
  71. 3-Baroque numbers with utmost 3 different prime divisors
  72. Mathematical notation
  73. Baroque numbers – 2
  74. Number theory — ideals in Z, and the greatest common divisor
  75. Baroque numbers – 1
  76. Infinitude of primes – 2
  77. Number theory — Gothic numbers
  78. log and exp–a constructive and an axiomatic approaches
  79. Aleksandrov 2-point space
  80. Topology — short-short introduction
  81. Art of Agreeing — patent law
  82. Topology — the closure operation
  83. Integration of monotone functions
  84. The ground level properties of integral
  85. Metric spaces universal for 2-point spaces
  86. Products of bounded primes
  87. Sequences of pairwise coprime integers
  88. Mathematics — right triangles
  89. Art of Agreeing — United Nations
  90. Mathematics — two definitions
  91. Government wa(steful wa)ys
  92. Art of Agreeing — index
  93. Metric universality of (R^n d_m) — part 2
  94. Iso-graphs of metric maps into R (part 1)
  95. Metric universality of (R^n d_m) — part 1
  96. Metric spaces universal for 3- and 4-point spaces
  97. Number theory–units, composites, and primes
  98. Social life & energy saving
  99. Topological spaces and continuous mappings. Isolated points.
  100. Topological weight
  101. Mathematics — Euclid-Heron area of a triangle
  102. Connected spaces
  103. Art of Agreeing — marriage versus law & government
  104. Art of Agreeing — introduction
  105. Dabanese — index
  106. Linear orders in topological spaces
  107. Topological cuts and miscuts
  108. Closed sets. T1-spaces.
  109. Topology — the interior operation
  110. Mathematics — triangles
  111. Continuity of the piecewise continuous functions
  112. Topological subspaces
  113. Art of Agreement — medical insurance
  114. Art of Agreeing — business & stock market
%d bloggers like this: