Ułamki i macierze 2-na-2. Cz 1: SM(Z+, 2)

· blog
Authors

Wektory i macierze

Niech

  • Z+ :=  {0 1 2 …}
  • będzie półpierścieniem nieujemnych liczb całkowitych. Będziemy zajmować się 2-wymiarowymi wektorami:

    [; \mathbf{v} = \left[\begin{array}{c} v \\ V \end{array} \right] ;]

    i macierzami o wymiarze 2-na-2:

    [; M := \left[ \begin{array}{cc}            a & b\\            A & B \end{array} \right] ;]

    gdzie v V a A b B oznaczają nieujemne liczby całkowite. Można też zapisywać macierze jako pary wektorów. Niech:

    [; \mathbf{a} = \left[\begin{array}{c} a \\ A \end{array} \right] ;]

    oraz

    [; \mathbf{b} = \left[\begin{array}{c} b \\ B \end{array} \right]  ;]

    Wtedy będziemy zapisywać powyższą macierz M także w postaci:

    [; M = \left[ \begin{array}{cc} \mathbf{a} & \mathbf{b} \end{array} \right]  ;]

    Nazwijmy kilka wektorów i macierzy:

    [; e_0 := \left[ \begin{array}{c} 0 \\ 1 \end{array} \right] ;]

    [; e_1 := \left[ \begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array} \right] ;]

    [; e_\infty := \left[ \begin{array}{c} 1 \\ 0 \end{array} \right] ;]

    oraz

    [; I := \left[ \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{cc} e_\infty & e_0 \end{array} \right] ;]

    [; L := \left[ \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{cc} e_1 & e_0 \end{array} \right] ;]

    [; U := \left[ \begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{cc} e_\infty & e_1 \end{array} \right] ;]

    Macierz I nazywamy jednością lub macierzą identycznościową (z powodów przedstawionych poniżej); macierz L nazywamy dolną trójkątną (“L” od angielskiego “lower”); Macierz U nazywamy górną trójkątną (“U” od angielskiego “upper”).

    Mnożenie macierzy przez wektory

    Iloczyn macierzy M przez wektor v definiujemy następująco:

    [; \left[ \begin{array}{cc} a & b \\ A & B \end{array} \right] \cdot \left[ \begin{array}{c} v \\ V \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{c} a\cdot v + b\cdot V \\ A\cdot v + B\cdot V \end{array} \right] ;]

    Dla macierzy identycznościowej I zachodzi równość:

    [; I\cdot \mathbf{v} = v ;]

    Właśnie dlatego macierz I nazywamy jednością lub macierzą identycznościową. Ponadto, stosując dla tej samej macierzy [; M ;] oznaczenie [; M = \left[ \begin{array}{cc} \mathbf{a} & \mathbf{b} \end{array} \right] ;], otrzymujemy:

    [; M \cdot e_\infty = \mathbf{a} ;]
    [;  M \cdot e_0 = \mathbf{b} ;]
    [; M \cdot e_1 = \mathbf{a} + \mathbf{b} ;]

    gdzie po prawej stronie ostatniego równania powyżej występuje suma dwóch wektorów, czyli w danym wypadku dwóch kolumn macierzy [; M ;]. Tak więc w wyniku mnożenia macierzy [; M ;] przez powyższe wektory otrzymaliśmy odpowiednio pierwszą kolumnę, drugą kolumnę, i sumę kolumn naszej macierzy.

    Mnożenie macierzy przez macierze

    Rozpatrzmy dowolne wektory [; \mathbf{v} \ \ \mathbf{w} ;]. Razem, jako kolumny, tworzą pewną macierz [; \left[ \begin{array}{cc} \mathbf{v} & \mathbf{w} \end{array} \right] ;]. Z definicji, dowolną macierz mnożymy przez taką dwukolumnową macierz następująco:

    [; M \cdot \left[ \begin{array}{cc} \mathbf{v} & \mathbf{w} \end{array} \right] := \left[ \begin{array}{cc} M\cdot \mathbf{v} & M\cdot \mathbf{w} \end{array} \right] ;]

    Ponieważ każda macierz (w tym artykule) jest dwukolumnowa, to otrzymaliśmy ogólną definicję mnożenia macierzy przez macierz – sprowadza się takie mnożenie do mnożenia macierzy przez kolumny drugiej macierzy (tak jest też dla nierozpatrywanych tutaj macierzy większych wymiarów; mnożenie macierzy odpoweidznich wymiarów sprowadza się do mnożenia macierzy przez wektory).

    Jako wniosek otrzymujemy następujące równości dla dwukolumnowej macierzy [; M := \left[ \begin{array}{cc}  \mathbf{a} & \mathbf{b} \end{array} \right] ;] :

    [; M \cdot I = M ;]
    [; M \cdot L = \left[ \begin{array}{cc}  \mathbf{a} + \mathbf{b} & \mathbf{b} \end{array} \right] ;]
    [; M \cdot U = \left[ \begin{array}{cc}  \mathbf{a} & \mathbf{a} + \mathbf{b} \end{array} \right] ;]

    Wyznacznik macierzy

    Dla macierzy

    [; M := \left[ \begin{array}{cc}            a & b\\            A & B \end{array} \right] ;]

    definiuje się (zorientowane, więc może być ujemne) pole równoległoboku, ktorego dwoma bokami są kolumny macierzy – takie pole nazywa się wyznacznikiem, i oznacza się [; |M| ;] lub [; \det(M) ;], w zależności od nastroju:

    [; |M| := a\cdot B - A\cdot b ;]

    Przyjmując dla tej macierzy oznaczenie dwukolumnowe [; M := \left[ \begin{array}{cc} \mathbf{a} & \mathbf{b} \end{array} \right] ;], oraz używając litery [; \lambda ;] dla dowolnej nieujemnej liczby całkowitej, możemy odnotować następujące własności wyznacznika:

    [; |M| = 0 ;] gdy  [; \mathbf{a} = \mathbf{b} ;]

    [; \det \left[ \begin{array}{cc} \lambda \cdot \mathbf{a} & \mathbf{b} \end{array} \right] =                         \lambda\cdot |M| =     \det \left[ \begin{array}{cc} \mathbf{a} & \lambda \cdot \mathbf{b} \end{array} \right] ;]

    [; \det \left[ \begin{array}{cc} \mathbf{a}+\mathbf{a'} & \mathbf{b} \end{array} \right] = \det \left[ \begin{array}{cc} \mathbf{a} & \mathbf{b} \end{array} \right] + \det \left[ \begin{array}{cc} \mathbf{a'} & \mathbf{b} \end{array} \right] ;]

    [; \det \left[ \begin{array}{cc} \mathbf{a} &\mathbf{b} + \mathbf{b'} \end{array} \right] = \det \left[ \begin{array}{cc} \mathbf{a} & \mathbf{b} \end{array} \right] + \det \left[ \begin{array}{cc} \mathbf{a} & \mathbf{b'} \end{array} \right] ;]

    gdzie [; \mathbf{a'} ;] oraz [; \mathbf{b'} ;] są dodatkowymi dwoma dowolnymi wektorami.

    Szczególny monoid SM(Z+, 2)

    Wszystkie macierze 2-na-2 razem, o wspólczynnikach będących nieujemnymi liczbami całkowitymi, tworzą monoid

    ]]] GM(Z+, 2)

    ze względu na mnożenie macierzy oraz macierz I, grającą rolę jedynki. Jest to monoid, bo mnożenie macierzy jest łączne. Zdefiniujmy teraz

    ]]] SM(Z+, 2)

    jako zbiór wszystkich macierzy M o wyznaczniku 1 czyli spełniających:

    [; \det(M) = 1 ;]

    Niech jak zwykle

    ]]] Z := { …-2 -1 0 1 2 … }

    będzie pierścieniem wszystkich liczb całkowitych. Poniżej jednak obchodzi nas tylko to, że Z jest monoidem ze względu na mnożenie oraz 1. Wyznacznik jest homomorfizmem monoidów, czyli zachodzi


    Twierdzenie: Odwzorowanie

    ]]] det : GM(Z+, 2) → Z

    spełnia równość:

    [; \det(M\cdot M') = \det(M)\cdot \det(M') ;]

    dla dowolnych macierzy M M’ ∈ GM(Z+, 2); ponadto:

    [; \det(I) = 1 ;]


    Stąd łatwo zobaczyć, że SM(Z+, 2) jest monoidem ze względu na mnożenie macierzy i macierz I, jako jedność monoidu. Oczywiście:

    [; \det(L) = \det(U) = 1 ;]

    czyli

    ]]] L U ∈ SM(Z+, 2)

    Okazuje się, że monoid SM(Z+, 2) ma pewną podstawową (i ciekawą) własność, w której ważną rolę grają macierze L U – monoid SM(Z+, 2) jest generowany przez L U w sposób wolny, czyli jest monoidem wolnym, o dwóch generatorach. Oznacza to dwie rzeczy:

    • L U generują całe SM(Z+, 2), czyli: dla dowolnej macierzy M ∈ SM(Z+, 2) istnieje skończony ciąg macierzy A1 … An taki, że każda jest równa L lub U, przy czym ich iloczyn daje M:[; A_1 \cdot ... \cdot A_n = M ;]

      przy czym dla n=0 iloczyn ten, zgodnie z (bardzo sensowną) konwencją, jest równy macierzy I

    • Gdy zachodzi równość

      [;  A_1 \cdot ... \cdot A_n =  B_1 \cdot ... \cdot B_m ;]

      gdzie po obu stronach mamy iloczyn macierzy L U, to m=n oraz [; A_k = B_k ;] dla każdego k = 1 … n.

    To skądinąd czysto algebraiczne twierdzenie będzie udowodnione w następnych postach za pomocą liczb wymiernych (ułamków) i nierówności pomiędzy nimi, będących elementarnym wprowadzeniem do aproksymacji diofantycznych.

    1 Comment

    Comments RSS

    Leave a Reply

    Fill in your details below or click an icon to log in:

    WordPress.com Logo

    You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

    Twitter picture

    You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

    Facebook photo

    You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

    Google+ photo

    You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

    Connecting to %s

    1. WhoWheWha (in progress)
    2. The sharpest minds ever
    3. California – State – USA – Knol Authors – Knols – Education
    4. Money — economy (part 1)
    5. “california rains”
    6. Pairs, Kuratowski pairs, and reality
    7. Number Theory — congruences
    8. Matematyka – esej
    9. Congruence x^2 ≡ -1 mod p (Euler), and a super-Wilson theorem.
    10. Dabanese – dictionary (1)
    11. Dabanese syntax
    12. Dabanese — a general introduction
    13. Tentative dabanese dictionary (1)
    14. Fractions and diophantine approximations, I
    15. Mathematics — index
    16. Reflections on mathematics (migma)
    17. Special characters & HTML strings
    18. Infinitude of primes – 1
    19. Reference
    20. Geometric progression
    21. Ergänzungssatz: x^2 ≡ 2 mod p; and more.
    22. Primes in arithmetic progressions (part I)
    23. Euler introduction to Gauss quadratic reciprocity
    24. Trigonometry of a triangle–sinus & cosinus
    25. Wlodzimierz Holsztynski, knolog
    26. Tichonov product
    27. Factorization in semigroups
    28. Nowe knole
    29. Knole w języku polskim
    30. Metric spaces — introduction
    31. Topology — compact spaces II
    32. Topology–singular spaces
    33. the last summer concert in san jose
    34. California in poetry
    35. threeway
    36. san jose blues
    37. san francisco blues
    38. open your arcs
    39. Tom Wachtel, [I was running out of …]
    40. Tom Wachtel, [on the sand at…]
    41. “september”
    42. Topological sequences and convergence
    43. Topology–Arkhangelskii nets
    44. Topology–compact spaces I
    45. Topological product of two spaces. Hausdorff spaces.
    46. Trigonometry
    47. Total logarithmic series
    48. “affinity”
    49. [close your eyes…]
    50. “San Jose”
    51. willow girl
    52. heaven california
    53. “phase transitions”
    54. “california?”
    55. “dimensions”
    56. bachelor life
    57. “spring in california”
    58. [day -]
    59. Singular product of two spaces. Double limit.
    60. Art of Agreeing — painless tax
    61. The Birkhoff lattice of topologies
    62. Left topologies
    63. Topology — Kolmogorov axiom
    64. Topological subbases and bases
    65. Complexity of sorting
    66. ∞-Metrics
    67. Even perfect numbers and Mersenne primes
    68. Fermat sequence base b
    69. Harmonic series & Euler’s gamma
    70. 4-Baroque numbers with utmost 4 different prime divisors
    71. 3-Baroque numbers with utmost 3 different prime divisors
    72. Mathematical notation
    73. Baroque numbers – 2
    74. Number theory — ideals in Z, and the greatest common divisor
    75. Baroque numbers – 1
    76. Infinitude of primes – 2
    77. Number theory — Gothic numbers
    78. log and exp–a constructive and an axiomatic approaches
    79. Aleksandrov 2-point space
    80. Topology — short-short introduction
    81. Art of Agreeing — patent law
    82. Topology — the closure operation
    83. Integration of monotone functions
    84. The ground level properties of integral
    85. Metric spaces universal for 2-point spaces
    86. Products of bounded primes
    87. Sequences of pairwise coprime integers
    88. Mathematics — right triangles
    89. Art of Agreeing — United Nations
    90. Mathematics — two definitions
    91. Government wa(steful wa)ys
    92. Art of Agreeing — index
    93. Metric universality of (R^n d_m) — part 2
    94. Iso-graphs of metric maps into R (part 1)
    95. Metric universality of (R^n d_m) — part 1
    96. Metric spaces universal for 3- and 4-point spaces
    97. Number theory–units, composites, and primes
    98. Social life & energy saving
    99. Topological spaces and continuous mappings. Isolated points.
    100. Topological weight
    101. Mathematics — Euclid-Heron area of a triangle
    102. Connected spaces
    103. Art of Agreeing — marriage versus law & government
    104. Art of Agreeing — introduction
    105. Dabanese — index
    106. Linear orders in topological spaces
    107. Topological cuts and miscuts
    108. Closed sets. T1-spaces.
    109. Topology — the interior operation
    110. Mathematics — triangles
    111. Continuity of the piecewise continuous functions
    112. Topological subspaces
    113. Art of Agreement — medical insurance
    114. Art of Agreeing — business & stock market
    %d bloggers like this: