4-parametrowa seria rozwiązań równania Erdősa-Strausa

· blog
Authors

WSTĘP

Erdős i Straus, niezależnie, wyrazili przypuszczenie, że następujące równanie, zwane równaniem Erdősa-Strausa, ma rozwiązanie w liczbach naturalnych x y z dla każdego naturalnego p > 1:

    4/p  =  1/x + 1/y + 1/z

Oczywiście równanie nie ma rozwiązania dla p=1.

Gdy x y z stanowią rozwiązanie dla p, to k*x k*y k*z stanowią rozwiązanie dla k*p. Z tego powodu wystarczy przypuszczenie E-S dowieść tylko dla liczb pierwszych. W szczególności, dla p := 2 mamy:

    4/2  =  1/1 + 1/2 + 1/2

więc równanie E-S zachodzi dla każdej naturalnej liczby parzystej p. Dlatego odtąd będą nas interesować tylko nieparzyste wartości p.

4-parametrowa seria

Wszystkie poniższe parametry t X Y Ź są z założenia liczbami naturalnymi, takimi że Ź jest dzielnikiem X+Y – krótko: Z|X+Y.  Wtedy naturalnymi są też liczby z następującej 4-parametrowej serii

        p  =  4*t*X*Y – (X+Y)/Ź

Każda z nich dopuszcza rozwiązanie (x y z) równania Erdősa-Strausa:

    4/p  =  1/(t*Y*Ź*p) + 1/t*X*Ź*p) + 1/(t*X*Y)

Prawdopodobnie powyższa seria liczb  p  zawiera wszystkie liczby pierwsze – taka jest moja hipoteza. Jednak dowieść jej może być równie trudno jak hipotezy Erdősa-Strausa.

Wprowadźmy notację:

        π(t X Y Ź)  :=  4*t*X*Y – (X+Y)/Ź

Tak więc:

  • 2 = π(1 1 1 1)
  • 3 = π(1 1 1 2)
  • 5 = π(1 1 2 1)
  • 7 = π(1 1 2 3)
  • 11 = π(3 1 1 2)

itd.

Serie 1-parametrowe

Z 4-parametrowej serii z łatwością otrzymuje się prostsze, 1-parametrowe, które mogą służyć do (nieco naiwnego) śrubowania rekordowo długiego początkowego odcinka liczb pierwszych p, dla których istnieje rozwiązanie równanania E-S; czyli chodzi o maksymalne pchnięcie wzwyż najmniejszej (złej) liczby pierwszej p, o której nie wiemy, czy dopuszcza rozwiązanie E-S.

Seria 3*n-1

        3*n-1  =  π(1 1 n 1)

Jedyne liczby pierwsze p, dla których w tym momencie nie wiemy, czy dopuszczają rozwiązanie równania E-S, są postaci  p = 3*n+1,  czyli postaci  p = 6*n+1 . Najmniejszą z nich jest p=7.

Seria 4*n-1

        4*n-1  =  π(n 1 1 2)

Pozostałe nieparzyste liczby są postaci 4*n+1. Zatem, biorąc pod uwagę także wcześniejszą serię 3*n-1, jedyne liczby pierwsze, dla których być może rozwiazanie E-S nie istnieje są postaci  p =12*n+1.  Najmniejszą z nich jest  p=13.

Seria 8*n-3

        8*n-3  =  π(n 1 2 1)

Jedyne liczby pierwsze p, dla których w tym momencie nie wiemy, czy dopuszczają rozwiązanie równania E-S, są postaci  p = 24*n+1.  Najmniejszą z nich jest p=73.

Lista liczb pierwszych postaci 24*n+1

Są to jedyne liczby pierwsze, które na razie nie są sprawdzone, jako rozwiązania równania E-S (pozostałe liczby pierwsze p rozwiązanie dopuszczają). Podam początkowe, poniżej 1600 (jest tych liczb pierwszych 23):

    73 97 193 241 313   337 409 433 457 577
    601 673 769 937 1009   1033 1129 1153 1201 1249
    1297 1321 1489

Serie  7*n-1  7*n-2  oraz  7*n-4

        7*n-1  =  π(2 1 n 1)
        7*n-2  =  π(1 2 n 1)
        7*n-4  =  π(1  1  2*n-1  1)

Dotąd niesprawdzonymi liczbami były tylko p=1 mod 24, czyli równe jednej z siedmiu liczb:

        1 25 49 73 97 121 145  mod 7*24=168

Spośród nich liczby  p=49 mod 168  są podzielne przez 7, oraz liczby p = 73 97 145  są odpowiednio równe -4 -1 -2 mod 7.  Zatem odtąd jedynymi niesprawdzonymi pierwszymi są liczby:

        p  =  1 lub 25 lub 121  mod 168

Redukuje to listę niesprawdzonych liczb pierwszych ( mniejszych od 1600) do:

        193 337 457 673 1009 1033 1129 1201 1297

W szczególności okazało się, że rozwiązanie E-S dopuszcza liczba 73, dzięki czemu pierwsza niesprawdzona liczba pierwsza podskoczyła z p=73 na p=193.

Serie  11*n-1  11*n-3  oraz  11*n-4

        11*n-1  =  π(3 1 n 1)
        11*n-3  =  π(1 3 n 1)
        11*n-4  =  π(1  1  3*n-1  3)

Serie te redukują ostatnią listę niesprawdzonych liczb pierwszych, aż po 1600, do czterech:

        193  457 673  1201  …

Serie 15*n-2 oraz 15*n-8

        15*n-2  =  π(2  2  n  1)
        15*n-8  =  π(2  1  2*n-1  2)

Serie te redukują ostatnią listę niesprawdzonych liczb pierwszych, aż po 1600, do jednej:

        p = 1201

dzięki czemu pierwsza niesprawdzona liczba pierwsza podskoczyła z p=193 na p=1201. Rekord przekroczył 1000 (TYSIĄC :-)). a po ewentualnym sprawdzeniu 1201 podskoczyłby powyżej 1600.

Posłowie

Można kontynuować w powyższym leniwym stylu, ale dla pełbego relaksu dobrze jest korzystać z pewnych prostych programów teorioliczbowych. Dotąd rachowałem na wpół ręcznie (co stwarza pole do pomyłek). Po napisaniu programu pomocniczego mam ochotę wyliczenia kontynuować.

Łatwo z serii 4-parametrowej wyodrębnić 2-, a nawet 3-parametrowe. Regularności widoczne są z powyższego ciągu serii 1-parametrowych, i łatwo połączyć je w serie 2-parametrowe. Jednak nie jest jasnym, czy zyskają na tym rachunki. Dla celów ogólnych (teoretycznych) lepsze jest cała rodzina 4-parametrowa.

UWAGA Wielu serii 1-parametrowych (postępów arytmetycznych) nie podaję – powyżej i poniżej, gdyż albo nie zawierają liczb pierwszych, albo zawierają wyłącznie te, które wystąpiły we wcześniejszych seriach.

Podam przykładowo, już (czyli na razie) bez zastosowania numerycznego, trzy dalsze serie 1-parametrowych:

        19*n-1  =  π(5 1 n 1)
        19*n-4  =  π(1  1  5*n-1  5)
        19*n-5  =  π(1 5 n 1)

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s

  1. WhoWheWha (in progress)
  2. The sharpest minds ever
  3. California – State – USA – Knol Authors – Knols – Education
  4. Money — economy (part 1)
  5. “california rains”
  6. Pairs, Kuratowski pairs, and reality
  7. Number Theory — congruences
  8. Matematyka – esej
  9. Congruence x^2 ≡ -1 mod p (Euler), and a super-Wilson theorem.
  10. Dabanese – dictionary (1)
  11. Dabanese syntax
  12. Dabanese — a general introduction
  13. Tentative dabanese dictionary (1)
  14. Fractions and diophantine approximations, I
  15. Mathematics — index
  16. Reflections on mathematics (migma)
  17. Special characters & HTML strings
  18. Infinitude of primes – 1
  19. Reference
  20. Geometric progression
  21. Ergänzungssatz: x^2 ≡ 2 mod p; and more.
  22. Primes in arithmetic progressions (part I)
  23. Euler introduction to Gauss quadratic reciprocity
  24. Trigonometry of a triangle–sinus & cosinus
  25. Wlodzimierz Holsztynski, knolog
  26. Tichonov product
  27. Factorization in semigroups
  28. Nowe knole
  29. Knole w języku polskim
  30. Metric spaces — introduction
  31. Topology — compact spaces II
  32. Topology–singular spaces
  33. the last summer concert in san jose
  34. California in poetry
  35. threeway
  36. san jose blues
  37. san francisco blues
  38. open your arcs
  39. Tom Wachtel, [I was running out of …]
  40. Tom Wachtel, [on the sand at…]
  41. “september”
  42. Topological sequences and convergence
  43. Topology–Arkhangelskii nets
  44. Topology–compact spaces I
  45. Topological product of two spaces. Hausdorff spaces.
  46. Trigonometry
  47. Total logarithmic series
  48. “affinity”
  49. [close your eyes…]
  50. “San Jose”
  51. willow girl
  52. heaven california
  53. “phase transitions”
  54. “california?”
  55. “dimensions”
  56. bachelor life
  57. “spring in california”
  58. [day -]
  59. Singular product of two spaces. Double limit.
  60. Art of Agreeing — painless tax
  61. The Birkhoff lattice of topologies
  62. Left topologies
  63. Topology — Kolmogorov axiom
  64. Topological subbases and bases
  65. Complexity of sorting
  66. ∞-Metrics
  67. Even perfect numbers and Mersenne primes
  68. Fermat sequence base b
  69. Harmonic series & Euler’s gamma
  70. 4-Baroque numbers with utmost 4 different prime divisors
  71. 3-Baroque numbers with utmost 3 different prime divisors
  72. Mathematical notation
  73. Baroque numbers – 2
  74. Number theory — ideals in Z, and the greatest common divisor
  75. Baroque numbers – 1
  76. Infinitude of primes – 2
  77. Number theory — Gothic numbers
  78. log and exp–a constructive and an axiomatic approaches
  79. Aleksandrov 2-point space
  80. Topology — short-short introduction
  81. Art of Agreeing — patent law
  82. Topology — the closure operation
  83. Integration of monotone functions
  84. The ground level properties of integral
  85. Metric spaces universal for 2-point spaces
  86. Products of bounded primes
  87. Sequences of pairwise coprime integers
  88. Mathematics — right triangles
  89. Art of Agreeing — United Nations
  90. Mathematics — two definitions
  91. Government wa(steful wa)ys
  92. Art of Agreeing — index
  93. Metric universality of (R^n d_m) — part 2
  94. Iso-graphs of metric maps into R (part 1)
  95. Metric universality of (R^n d_m) — part 1
  96. Metric spaces universal for 3- and 4-point spaces
  97. Number theory–units, composites, and primes
  98. Social life & energy saving
  99. Topological spaces and continuous mappings. Isolated points.
  100. Topological weight
  101. Mathematics — Euclid-Heron area of a triangle
  102. Connected spaces
  103. Art of Agreeing — marriage versus law & government
  104. Art of Agreeing — introduction
  105. Dabanese — index
  106. Linear orders in topological spaces
  107. Topological cuts and miscuts
  108. Closed sets. T1-spaces.
  109. Topology — the interior operation
  110. Mathematics — triangles
  111. Continuity of the piecewise continuous functions
  112. Topological subspaces
  113. Art of Agreement — medical insurance
  114. Art of Agreeing — business & stock market
%d bloggers like this: