WSTĘP
Erdős i Straus, niezależnie, wyrazili przypuszczenie, że następujące równanie, zwane równaniem Erdősa-Strausa, ma rozwiązanie w liczbach naturalnych x y z dla każdego naturalnego p > 1:
4/p = 1/x + 1/y + 1/z
Oczywiście równanie nie ma rozwiązania dla p=1.
Gdy x y z stanowią rozwiązanie dla p, to k*x k*y k*z stanowią rozwiązanie dla k*p. Z tego powodu wystarczy przypuszczenie E-S dowieść tylko dla liczb pierwszych. W szczególności, dla p := 2 mamy:
4/2 = 1/1 + 1/2 + 1/2
więc równanie E-S zachodzi dla każdej naturalnej liczby parzystej p. Dlatego odtąd będą nas interesować tylko nieparzyste wartości p.
4-parametrowa seria
Wszystkie poniższe parametry t X Y Ź są z założenia liczbami naturalnymi, takimi że Ź jest dzielnikiem X+Y – krótko: Z|X+Y. Wtedy naturalnymi są też liczby z następującej 4-parametrowej serii
p = 4*t*X*Y – (X+Y)/Ź
Każda z nich dopuszcza rozwiązanie (x y z) równania Erdősa-Strausa:
4/p = 1/(t*Y*Ź*p) + 1/t*X*Ź*p) + 1/(t*X*Y)
Prawdopodobnie powyższa seria liczb p zawiera wszystkie liczby pierwsze – taka jest moja hipoteza. Jednak dowieść jej może być równie trudno jak hipotezy Erdősa-Strausa.
Wprowadźmy notację:
π(t X Y Ź) := 4*t*X*Y – (X+Y)/Ź
Tak więc:
- 2 = π(1 1 1 1)
- 3 = π(1 1 1 2)
- 5 = π(1 1 2 1)
- 7 = π(1 1 2 3)
- 11 = π(3 1 1 2)
itd.
Serie 1-parametrowe
Z 4-parametrowej serii z łatwością otrzymuje się prostsze, 1-parametrowe, które mogą służyć do (nieco naiwnego) śrubowania rekordowo długiego początkowego odcinka liczb pierwszych p, dla których istnieje rozwiązanie równanania E-S; czyli chodzi o maksymalne pchnięcie wzwyż najmniejszej (złej) liczby pierwszej p, o której nie wiemy, czy dopuszcza rozwiązanie E-S.
Seria 3*n-1
3*n-1 = π(1 1 n 1)
Jedyne liczby pierwsze p, dla których w tym momencie nie wiemy, czy dopuszczają rozwiązanie równania E-S, są postaci p = 3*n+1, czyli postaci p = 6*n+1 . Najmniejszą z nich jest p=7.
Seria 4*n-1
4*n-1 = π(n 1 1 2)
Pozostałe nieparzyste liczby są postaci 4*n+1. Zatem, biorąc pod uwagę także wcześniejszą serię 3*n-1, jedyne liczby pierwsze, dla których być może rozwiazanie E-S nie istnieje są postaci p =12*n+1. Najmniejszą z nich jest p=13.
Seria 8*n-3
8*n-3 = π(n 1 2 1)
Jedyne liczby pierwsze p, dla których w tym momencie nie wiemy, czy dopuszczają rozwiązanie równania E-S, są postaci p = 24*n+1. Najmniejszą z nich jest p=73.
Lista liczb pierwszych postaci 24*n+1
Są to jedyne liczby pierwsze, które na razie nie są sprawdzone, jako rozwiązania równania E-S (pozostałe liczby pierwsze p rozwiązanie dopuszczają). Podam początkowe, poniżej 1600 (jest tych liczb pierwszych 23):
73 97 193 241 313 337 409 433 457 577
601 673 769 937 1009 1033 1129 1153 1201 1249
1297 1321 1489
Serie 7*n-1 7*n-2 oraz 7*n-4
7*n-1 = π(2 1 n 1)
7*n-2 = π(1 2 n 1)
7*n-4 = π(1 1 2*n-1 1)
Dotąd niesprawdzonymi liczbami były tylko p=1 mod 24, czyli równe jednej z siedmiu liczb:
1 25 49 73 97 121 145 mod 7*24=168
Spośród nich liczby p=49 mod 168 są podzielne przez 7, oraz liczby p = 73 97 145 są odpowiednio równe -4 -1 -2 mod 7. Zatem odtąd jedynymi niesprawdzonymi pierwszymi są liczby:
p = 1 lub 25 lub 121 mod 168
Redukuje to listę niesprawdzonych liczb pierwszych ( mniejszych od 1600) do:
193 337 457 673 1009 1033 1129 1201 1297
W szczególności okazało się, że rozwiązanie E-S dopuszcza liczba 73, dzięki czemu pierwsza niesprawdzona liczba pierwsza podskoczyła z p=73 na p=193.
Serie 11*n-1 11*n-3 oraz 11*n-4
11*n-1 = π(3 1 n 1)
11*n-3 = π(1 3 n 1)
11*n-4 = π(1 1 3*n-1 3)
Serie te redukują ostatnią listę niesprawdzonych liczb pierwszych, aż po 1600, do czterech:
193 457 673 1201 …
Serie 15*n-2 oraz 15*n-8
15*n-2 = π(2 2 n 1)
15*n-8 = π(2 1 2*n-1 2)
Serie te redukują ostatnią listę niesprawdzonych liczb pierwszych, aż po 1600, do jednej:
p = 1201
dzięki czemu pierwsza niesprawdzona liczba pierwsza podskoczyła z p=193 na p=1201. Rekord przekroczył 1000 (TYSIĄC :-)). a po ewentualnym sprawdzeniu 1201 podskoczyłby powyżej 1600.
Posłowie
Można kontynuować w powyższym leniwym stylu, ale dla pełbego relaksu dobrze jest korzystać z pewnych prostych programów teorioliczbowych. Dotąd rachowałem na wpół ręcznie (co stwarza pole do pomyłek). Po napisaniu programu pomocniczego mam ochotę wyliczenia kontynuować.
Łatwo z serii 4-parametrowej wyodrębnić 2-, a nawet 3-parametrowe. Regularności widoczne są z powyższego ciągu serii 1-parametrowych, i łatwo połączyć je w serie 2-parametrowe. Jednak nie jest jasnym, czy zyskają na tym rachunki. Dla celów ogólnych (teoretycznych) lepsze jest cała rodzina 4-parametrowa.
UWAGA Wielu serii 1-parametrowych (postępów arytmetycznych) nie podaję – powyżej i poniżej, gdyż albo nie zawierają liczb pierwszych, albo zawierają wyłącznie te, które wystąpiły we wcześniejszych seriach.
Podam przykładowo, już (czyli na razie) bez zastosowania numerycznego, trzy dalsze serie 1-parametrowych:
19*n-1 = π(5 1 n 1)
19*n-4 = π(1 1 5*n-1 5)
19*n-5 = π(1 5 n 1)
Leave a Reply