Równanie E-S; bezpośrednie poprawianie rekordu.

· blog
Authors

Niniejszy post jest przedłużeniem noty Równanie E-S; szybkie wyniki częściowe.  Rozpatrywaliśmy w niej, dla każdej liczby pierwszej  p > 2,  czwórki liczb naturalnych (S X Y Z), spełniających dwa warunki:

  1. każda z liczb  X Y Z  jest dzielnikiem iloczynu  S*p;
  2. X+Y+Z = 4*S

Czwórkom takim odpowiadają, w sposób wzajemnie jednoznaczny, rozwiązania równania Erdősa-Strausa dla liczby pierwszej  p > 2.  Wiemy też, że liczba  S  (i co najmniej jedna z liczb  X Y Z) musi musi być parzysta, więc  X+Y+Z  musi być podzielne przez  8.  Co więcej,  okazuje się, że  p  musi być dzielnikiem przynajmniej jednej z liczb  X Y Z  (pełniejszy wynik jest sformułowany w poprzednio wspomnianej notce, jako Twierdzenie 0), więc

p ≤ 4*S – 3     czyli     S  ≥  (p – 3) / 4

Ponadto wiemy, że rozwiązania istnieją dla każdej liczby pierwszej  p,  która nie daje reszty 1 z dzielenia przez 24.  Najmniejszą taką liczbą jest  p=73. Zatem przy okazji ustaliliśmy nasz pierwszy rekord:

Istnieje rozwiązanie równania E-S dla każdej liczby pierwszej  p < 73.

Podam teraz systematyczną, choć może naiwną, metodę bicia tego typu rekordu. Metodę możnaby zalgorytmizować, zakodować, i zajechać nią całkiem daleko (po drodze możnaby dokonać szeregu optymizacji, by program przyspieszyć).


Przede wszystkim chcemy znaleźć rozwiązanie dla  p:=73.  Następnie, opierając się na znalezionym rozwiązaniu, znajdziemy rozwiązania dla całego, nieskończonego postępu arytmetycznego (t.zn. dla liczby pierwszych, należących do tego postępu).

Poszukajmy kandydata na  X+Y+Z = 4*S > p = 73.  Jest to liczba podzielna przez 8, czyli musimy zacząć od 80.  Wtedy możemy przyjąć, że  Z:=p.  Zatem  X+Y=7.  Należy  X Y  wybrać tak, żeby były dzielnikami liczby  S=20. Na przykład  X:=2 oraz Y:=5  działa (innym wyborem było tylko symetryczne  X:5, Y:=2),  bo daje rozwiązanie:

S = 20,   X=2, Y=5, Z=73

Pobiliśmy rekord! 🙂 Teraz nasz rekord wynosi  p := 97  (jest to następna po 73 liczba pierwsza, dająca 1 z dzielenia przez 24).


Zauważmy jeszcze, że rozwiązaniem jest także:

S = (k+1)*10,  X=2, Y=5, Z=p

dla każdej liczby pierwszej p,  spełniającej  p = 33 mod 40.

Na przykład, znaleźliśmy rozwiązania dla

p = 73 113 193 233 313 353 433 593 673  itd.

Chociaż ten ogólniejszy wynik nie daje natychmiastowej poprawy rekordu, to przyda się przy dalszych rekordach.


Pobijmy obecny rekord:  p=97.  Tym razem najmniejsza liczba  X+Y+Z > 97,  podzielna przez 8, czyli 104 = 8*13,  nie działa, bo musiałoby być na przykład  Z=p  oraz  X+Y=7,  a jednocześnie  X lub Y  musiałoby być podzielne przez 13.

Dalsze poszukiwania mogą iść w dwóch kierunkach. Możemy znowu zakładać, że  Z=p=97,  i spróbować następną wielokrotność 8, czyli  X+Y+Z=112. Albo możemy spróbować  Z=2*p=194.

Pierwsza metoda daje rozwiązanie:

S=28;  X=1, Y=14, Z=97

Druga:

S=50;  X=1, Y=5,  Z=194

Obie czwórki są rozwiązaniami dla  p=97.  Każda z tych czwórek podwyższa rekord (co najmniej) do następnej liczby pierwszej  q=1 mod 24, czyli do  q=193;  jednak widzieliśmy wyżej, że  p := 193 = 33 mod 40  dopuszcza rozwiązanie równania E-S. Zatem nasz rekord jest wyznaczony przez następną liczbę pierwszą, dającą 1 z dzielenia przez 24, mianowicie przez  q := 241.

istnieje rozwiązanie równania E-S dla każdej liczby pierwszej  p < 241.

Ponadto, indukują powyższe dwie czwórki serie nieskończone (nieskończone na mocy twierdzenia Dirichleta):

S = (k+1)*56,  X=1, Y=14,  Z = 41 + k*56

dla dowolnej liczby pierwszej  p = 41 mod 56;  oraz

S = (k+1)*10,  X=1, Y=5,  Z = 34 + k*40

dla dowolnej liczby pierwszej  p = 17 mod 20  (czyli dla p := Z/2).

Wymienię początkowe liczby pierwsze każdej serii:

p = 41  97  433  601  769  881  937  1049  itd.

oraz

p = 17 37 97 137 157 197 257 277 317 337 397 457 557 577 617 677 757  itd.


PODSUMOWANIE

W poprzedniej i niniejszej notce uzyskaliśmy rozwiązania równania Erdősa-Strausa dla p=2 oraz dla każdej liczby pierwszej p, spełniającej jeden z następujących warunków:

  1.   p = 2 mod 3
  2.   p = 3 mod 4
  3.   p = 5 mod 8
  4.   p = 17 mod 20
  5.   p = 33 mod 40
  6.   p = 41 mod 56

Warunki 1-3 mówią, że istnieje rozwiązanie dla każej liczby pierwszej  p,  niedającej reszty 1 z dzielenia przez 24. Warunki 1-5, że jest tak dla każdej liczby pierwszej  p,  niedającej reszty  1 ani 49  z dzielenia przez 120.

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s

  1. WhoWheWha (in progress)
  2. The sharpest minds ever
  3. California – State – USA – Knol Authors – Knols – Education
  4. Money — economy (part 1)
  5. “california rains”
  6. Pairs, Kuratowski pairs, and reality
  7. Number Theory — congruences
  8. Matematyka – esej
  9. Congruence x^2 ≡ -1 mod p (Euler), and a super-Wilson theorem.
  10. Dabanese – dictionary (1)
  11. Dabanese syntax
  12. Dabanese — a general introduction
  13. Tentative dabanese dictionary (1)
  14. Fractions and diophantine approximations, I
  15. Mathematics — index
  16. Reflections on mathematics (migma)
  17. Special characters & HTML strings
  18. Infinitude of primes – 1
  19. Reference
  20. Geometric progression
  21. Ergänzungssatz: x^2 ≡ 2 mod p; and more.
  22. Primes in arithmetic progressions (part I)
  23. Euler introduction to Gauss quadratic reciprocity
  24. Trigonometry of a triangle–sinus & cosinus
  25. Wlodzimierz Holsztynski, knolog
  26. Tichonov product
  27. Factorization in semigroups
  28. Nowe knole
  29. Knole w języku polskim
  30. Metric spaces — introduction
  31. Topology — compact spaces II
  32. Topology–singular spaces
  33. the last summer concert in san jose
  34. California in poetry
  35. threeway
  36. san jose blues
  37. san francisco blues
  38. open your arcs
  39. Tom Wachtel, [I was running out of …]
  40. Tom Wachtel, [on the sand at…]
  41. “september”
  42. Topological sequences and convergence
  43. Topology–Arkhangelskii nets
  44. Topology–compact spaces I
  45. Topological product of two spaces. Hausdorff spaces.
  46. Trigonometry
  47. Total logarithmic series
  48. “affinity”
  49. [close your eyes…]
  50. “San Jose”
  51. willow girl
  52. heaven california
  53. “phase transitions”
  54. “california?”
  55. “dimensions”
  56. bachelor life
  57. “spring in california”
  58. [day -]
  59. Singular product of two spaces. Double limit.
  60. Art of Agreeing — painless tax
  61. The Birkhoff lattice of topologies
  62. Left topologies
  63. Topology — Kolmogorov axiom
  64. Topological subbases and bases
  65. Complexity of sorting
  66. ∞-Metrics
  67. Even perfect numbers and Mersenne primes
  68. Fermat sequence base b
  69. Harmonic series & Euler’s gamma
  70. 4-Baroque numbers with utmost 4 different prime divisors
  71. 3-Baroque numbers with utmost 3 different prime divisors
  72. Mathematical notation
  73. Baroque numbers – 2
  74. Number theory — ideals in Z, and the greatest common divisor
  75. Baroque numbers – 1
  76. Infinitude of primes – 2
  77. Number theory — Gothic numbers
  78. log and exp–a constructive and an axiomatic approaches
  79. Aleksandrov 2-point space
  80. Topology — short-short introduction
  81. Art of Agreeing — patent law
  82. Topology — the closure operation
  83. Integration of monotone functions
  84. The ground level properties of integral
  85. Metric spaces universal for 2-point spaces
  86. Products of bounded primes
  87. Sequences of pairwise coprime integers
  88. Mathematics — right triangles
  89. Art of Agreeing — United Nations
  90. Mathematics — two definitions
  91. Government wa(steful wa)ys
  92. Art of Agreeing — index
  93. Metric universality of (R^n d_m) — part 2
  94. Iso-graphs of metric maps into R (part 1)
  95. Metric universality of (R^n d_m) — part 1
  96. Metric spaces universal for 3- and 4-point spaces
  97. Number theory–units, composites, and primes
  98. Social life & energy saving
  99. Topological spaces and continuous mappings. Isolated points.
  100. Topological weight
  101. Mathematics — Euclid-Heron area of a triangle
  102. Connected spaces
  103. Art of Agreeing — marriage versus law & government
  104. Art of Agreeing — introduction
  105. Dabanese — index
  106. Linear orders in topological spaces
  107. Topological cuts and miscuts
  108. Closed sets. T1-spaces.
  109. Topology — the interior operation
  110. Mathematics — triangles
  111. Continuity of the piecewise continuous functions
  112. Topological subspaces
  113. Art of Agreement — medical insurance
  114. Art of Agreeing — business & stock market
%d bloggers like this: