Równanie E-S; szybkie wyniki częściowe

· blog
Authors

Pokazałem w notce pełnej otuchy, że dla nieparzystej liczby naturalnej  p  istnieje rozwiązanie równania Erdősa-Strausa

4/p  =  1/x + 1/y + 1/z

w liczbach naturalnych  x y z wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje czwórka liczb naturalnych (S X Y Z) taka, że X Y Z są dzielnikami iloczynu  p*S, oraz  X+Y+Z = 4*S. Takie czwórki będziemy nazywać rozwiązaniami (dla  p).  Przy tym dla każdej takiej czwórki liczba  S  musi być parzysta, a więc suma  X+Y+Z  musi być podzielna przez 8.


UWAGA 0  Dla parzystych liczb  p  sytuacja jest prosta, rozwiązanie równania E-S zawsze istnieje, bo

4/2 = 1/2 + 1/2 + 1/1

więc

4/(2*k) = 1/(2*k) + 1/(2*k) + 1/k

dla każdego naturalnego  k.


Niech  (S X Y Z)  będzie rozwiązaniem. Wtedy nie mogą wszystkie trzy liczby  X Y Z  być dzielnikami  S – rzeczywiście, wtedy mielibyśmy  X+Y+Z ≤ 3*S,  wbrew równości  X+Y+Z = 4*S.

W dalszym ciągu będę zakładał, że liczba naturalna  p  jest nieparzystą liczbą pierwszą. Bowiem rozwiązanie dla  p  oznacza istnienie rozwiązania dla każdej wielokrotności liczby  p.

Oznacza to, że dla dowolnego rozwiązania  (S X Y Z)  co najmniej jedna z liczb  X Y Z  jest podzielna przez  p.  Zachodzi nawet pełniejsze:

TWIERDZENIE 0  Niech  (S X Y Z)  będzie rowiązaniem dla liczby pierwszej  p > 2. Niech ponadto  pk | S  (będzie dzielnikiem S).  Wtedy  pk+1  jest dzielnikiem co najmniej jednej z liczb  X Y Z.


Pokażę jak podejście pełne otuchy daje naturalnie i rutynowo wyniki częściowe, które przy podejściu bezpośrednim wymagają trochę pomysłowości, i otrzymuje się je wtedy z większym trudem. Prawdziwym problemem jest jak przeskoczyć takie częściowe wyniki, lub jak je połączyć w jeden, zamiast dowodzić po jednym W niniejszej notce chcę jednak mieć zabawę, uzyskać jakiś tam “rekord”.


Przypadek  X=1, Y=2, Z=p

Wtedy  1+2+p = 4*S,  gdzie  S  jest parzyste, czyli  p+3  dzieli się przez 8.  Dla takich  p=5 mod 8  mamy więc rozwiązanie:

S = (p+3)/4,  X=1, Y=2, Z=p

(Rzeczywiście,  X Y Z  są dzielnikami  p*S,  oraz  X+Y+Z = 4*S). Pokazaliśmy, że rozwiązanie równania E-S istnieje dla liczb pierwszych  p  takich jak:

5  13  29  37  53  61  101  109  149  157  173  181
197  229  269  itd.


Przypadek  X=1, Y=1, Z=2*p

Wtedy  1+1+2*p = 4*S,  czyli  S = (p+1)/2,  więc  p+1  musi być podzielne przez 4 (bo S jest parzyste), t.zn.  p = 3 mod 4.  Dla takich  p=3 mod 4  otrzymujemy rozwiązanie:

S = (p+1)/2,  X=Y=1, Z=2*p

UWAGA 1  Rozwiązania (inne) dla tych samych pierwszych p=3 mod 4 można uzyskać w postaci:

S = (p+1)/2,  X=2,  Y=Z=p


Pokazaliśmy, że rozwiązanie równania E-S istnieje dla liczb pierwszych  p  takich jak:

3  7  11  19  23  31  43  47  59  67  71  79  83  103
107  127  131  151  163  167  179  191  199  211  223  itd.

Obecny wynik można ująć tak:

rozwiązanie istnieje dla każdego p= 3 lub 7 mod 8

Przedtem pokazaliśmy, że dla każdego  p=5 mod 8. Czyli w sumie pokazaliśmy, że rozwiązanie istnieje dla każdego p = 3 lub 5 lub 7 mod 8, co można ująć tak:

rozwiązanie istnieje dla każdej liczby pierwszej  p,  która nie daje reszty 1 z dzielenia przez 8.

Na przykład wciąż potrzebujemy rozwiązania dla p=17 oraz p=41.


Przypadek  X=1, Z=3*Y-1

Wtedy  4*Y = X+Y+Z = 4*S,  więc  Y=S  musi być parzyste, oraz  p=Z=3*Y-1  musi dawać resztę 5 z dzielenia przez 6. Dla takich  p=5 mod 6  dostajemy serię rozwiązań:

S=Y,  X=1,  Y-parzyste , Z=3*Y-1

Mamy rozwiązania dla liczb pierwszych takich jak:

5  11  17  23  29  41  47  53  59  71  83    89  itd.

Poprzednie dwie serie rozwiązań pokazały, że istnieje rozwiązanie dla liczby pierwszej  p,  nie dającej reszty  1 lub 9 lub 17  z dzielenia przez 24. Ale nie istnieją liczby pierwsze  p=9 mod 24 (byłyby podzielne przez 3). Zatem przedtem uzyskaliśmy:

istnieje rozwiązanie dla każdej liczby pierwszej  p,  nie dającej reszty  1 lub 17  z dzielenia przez 24.

Obecnie dostaliśmy rozwiązania dla  p=5 lub 11 lub 17 lub 23 mod 24. Zyskaliśmy przypadek  p=17 mod 24, i to jest nasz kolejny postęp. W sumie wiemy już, że:

rozwiązanie istnieje dla każdej liczby pierwszej  p,  która nie daje reszty  1  z dzielenia przez 24.

Mamy więc już rozwiązania dla poprzednio niezdecydowanych  p=17 oraz p=41. Tym razem wiemy, że rozwiązania dla nich istnieją, bo takie p=17 mod 24. Obecnie najmniejszymi nierozstrzygniętymi liczbami pierwszymi są  p=73 97 193.


(Kontynuacją niniejszej notki jest następny post Równanie E-S; bezpośrednie poprawianie rekordu.).

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s

  1. WhoWheWha (in progress)
  2. The sharpest minds ever
  3. California – State – USA – Knol Authors – Knols – Education
  4. Money — economy (part 1)
  5. “california rains”
  6. Pairs, Kuratowski pairs, and reality
  7. Number Theory — congruences
  8. Matematyka – esej
  9. Congruence x^2 ≡ -1 mod p (Euler), and a super-Wilson theorem.
  10. Dabanese – dictionary (1)
  11. Dabanese syntax
  12. Dabanese — a general introduction
  13. Tentative dabanese dictionary (1)
  14. Fractions and diophantine approximations, I
  15. Mathematics — index
  16. Reflections on mathematics (migma)
  17. Special characters & HTML strings
  18. Infinitude of primes – 1
  19. Reference
  20. Geometric progression
  21. Ergänzungssatz: x^2 ≡ 2 mod p; and more.
  22. Primes in arithmetic progressions (part I)
  23. Euler introduction to Gauss quadratic reciprocity
  24. Trigonometry of a triangle–sinus & cosinus
  25. Wlodzimierz Holsztynski, knolog
  26. Tichonov product
  27. Factorization in semigroups
  28. Nowe knole
  29. Knole w języku polskim
  30. Metric spaces — introduction
  31. Topology — compact spaces II
  32. Topology–singular spaces
  33. the last summer concert in san jose
  34. California in poetry
  35. threeway
  36. san jose blues
  37. san francisco blues
  38. open your arcs
  39. Tom Wachtel, [I was running out of …]
  40. Tom Wachtel, [on the sand at…]
  41. “september”
  42. Topological sequences and convergence
  43. Topology–Arkhangelskii nets
  44. Topology–compact spaces I
  45. Topological product of two spaces. Hausdorff spaces.
  46. Trigonometry
  47. Total logarithmic series
  48. “affinity”
  49. [close your eyes…]
  50. “San Jose”
  51. willow girl
  52. heaven california
  53. “phase transitions”
  54. “california?”
  55. “dimensions”
  56. bachelor life
  57. “spring in california”
  58. [day -]
  59. Singular product of two spaces. Double limit.
  60. Art of Agreeing — painless tax
  61. The Birkhoff lattice of topologies
  62. Left topologies
  63. Topology — Kolmogorov axiom
  64. Topological subbases and bases
  65. Complexity of sorting
  66. ∞-Metrics
  67. Even perfect numbers and Mersenne primes
  68. Fermat sequence base b
  69. Harmonic series & Euler’s gamma
  70. 4-Baroque numbers with utmost 4 different prime divisors
  71. 3-Baroque numbers with utmost 3 different prime divisors
  72. Mathematical notation
  73. Baroque numbers – 2
  74. Number theory — ideals in Z, and the greatest common divisor
  75. Baroque numbers – 1
  76. Infinitude of primes – 2
  77. Number theory — Gothic numbers
  78. log and exp–a constructive and an axiomatic approaches
  79. Aleksandrov 2-point space
  80. Topology — short-short introduction
  81. Art of Agreeing — patent law
  82. Topology — the closure operation
  83. Integration of monotone functions
  84. The ground level properties of integral
  85. Metric spaces universal for 2-point spaces
  86. Products of bounded primes
  87. Sequences of pairwise coprime integers
  88. Mathematics — right triangles
  89. Art of Agreeing — United Nations
  90. Mathematics — two definitions
  91. Government wa(steful wa)ys
  92. Art of Agreeing — index
  93. Metric universality of (R^n d_m) — part 2
  94. Iso-graphs of metric maps into R (part 1)
  95. Metric universality of (R^n d_m) — part 1
  96. Metric spaces universal for 3- and 4-point spaces
  97. Number theory–units, composites, and primes
  98. Social life & energy saving
  99. Topological spaces and continuous mappings. Isolated points.
  100. Topological weight
  101. Mathematics — Euclid-Heron area of a triangle
  102. Connected spaces
  103. Art of Agreeing — marriage versus law & government
  104. Art of Agreeing — introduction
  105. Dabanese — index
  106. Linear orders in topological spaces
  107. Topological cuts and miscuts
  108. Closed sets. T1-spaces.
  109. Topology — the interior operation
  110. Mathematics — triangles
  111. Continuity of the piecewise continuous functions
  112. Topological subspaces
  113. Art of Agreement — medical insurance
  114. Art of Agreeing — business & stock market
%d bloggers like this: