Szybki wstęp do algebry przekształceń obrazów. Cz. 1

· blog
Authors

Kanwa. Punkty i wektory.
===============================

Dlaczego za kanwę wybiera się na przykład  Z2,  a nie dowolny zbiór przeliczalny, na przykład zbiór liczb naturalnych. Oba mają tyle samo elementów, są równoliczne. Z kontekstu wyczuwamy od razu, że chodzi nie tylko o punkty kanwy (jakby byle jak wrzucone do worka), lecz także o ich geometryczną konfigurację. Geometrię najefektywniej rozwija się za pomocą algebry. Tak więc chodzi nie tylko o punkty, ale także o przesuwanie punktów o wektory. W pewnych przypadkach, gdy mowa o przestrzeni kartezjańskiej, punkty i wektory formalnie wyglądają podobnie, aż czasem trudno je przez to rozróżnić. Geometrzy upierają się, że są to różne pojęcia, ale biedny student może czuć się niepewnie.

Ba, inżynierzy, pracujący nad procesowaniem obrazów miewali kłopoty z napisaniem właściwych programów. Zbiór wektorów może tworzyć wizualnie obrazek. Ponadto w zastosowaniu mamy też obraz, ten prawdziwy, do procesowania. Rola tych dwóch obrazów jest różna. Ten wektorowy jest częścią programu (algorytmu), i żyje w kodzie. Natomiast ten rzeczywisty obraz jest inputem (za każdym razem innym). Kto tego nie rozumie, ten nie rozwiąże problemu i odwróci się od równoległego procesora. Tak było w praktyce. Raz liczba instrukcji była oszacowana na kilkaset tysięcy, a wystarczyło ich naprawdę w jednym przypadku 40-50, a w drugim 60-80. Kiedy indziej szacowano ignorancko na dwadzieścia tysięcy, a wystarczyło kilkaset.

DYGRESJA  Nieco podobnie niejasną dla studentów sytuację mamy w przypadku początkowej Analizy Matematycznej, przy badaniu ciągów i szeregów liczbowych oraz funkcji jednej zmniennej. Ma się doczynienia z liczbami rzeczywistymi w dwóch rolach. W jednej są one punktami geometrycznymi na prostej, będącej osią liczb rzeczywistych. Wtedy używa się powszechnie symboli x y … Z drugiej strony liczby rzeczywiste służą do mierzenia odległości pomiędzy punktami, czyli w elementarnej Analizie pomiędzy liczbami rzeczywistymi. Wtedy na ogół używa się notacji epsilonowo-deltowej. Zauważmy, że w tym ostatnim przypadku nasze liczby rzeczywiste (epsilony i delty) są zawsze dodatnie. Niektórzy autorzy, żeby uniknąć dualnej roli liczb rzeczywistych, mylącej początkujących studentów, zaczynają prezentować Analizę z miejsca w wymiarze 2. Wtedy epsilony i delty szacują odległości nie pomiędzy liczbami rzeczywistymi, lecz pomiędzy punktami płaszczyzny, więc rozdział punktów i miary odległości jest wtedy jasny. KONIEC dygresji

Dla otrzaskania się z relacją pomiędzy punktami i wektorami, zacznę od ilustracji 1-wymiarowych, znanych nam na codzień. Za każdym razem za “wektory” służą nam liczby całkowite, czyli naszą przestrzenią “wektorową” będzie

Z  :=  { … -2 -1 0 1 2 … }

Dodanie do punktu wektora da znowu punkt.

PRZYKŁADY

  1. Niech punktami będą pory roku W L J Z, czyli naszą przestrzenią geometryczną jest rok R:

    R  :=  { W L J Z }

    Wtedy

    W+1 = L,  L+1 = J,  J+1 = Z,  Z+1 = W

    Ogólniej, mamy następujące od ręki przykłady dodawania “wektorów” do “punktów”:

    W+4  =  W – 4  =  W;
    J + 5  =  J – 7  =  Z;
    L + 2  =  L – 2  =  L + 6  =  Z;
    itd.

  2. Za przestrzeń punktową przyjmijmy tytdzień:

    T  :=  { Ni Po Wt Śr Cz Pi So }

    Wtedy na przykład:

    Pi + 3  =  Pi + 10  =  Pi – 4  =  Po;
    Pi + 4  =  Pi – 3  =  P + 704  =  Wt;
    itd.

Fachowo, mówi się w matematyce o działaniu grupy na przestrzeń. Sytuację elegancko aksjomatyzuje się. Tutaj ograniczę się do podania przykładów z procesowania obrazów.

Ponieważ hardware jest skończony, to nie możemy mieć pełnej płaszczyzny Z2 w hardwarze. Oznacza to, że ze zdjęć, o wysokiej rozdzielczości, wielkich połaci Ziemi, możemy na raz wybrać tylko pewien prostokąt. Gdy ten obraz obrabiamy, to przy brzegach dostaje się śmiecie, zamiast mających sens wyników. Jest tak dlatego, że wynik obliczeń w danym punkcie zależy od danych z całego otoczenia tego punktu. Gdy dany punkt w hardware’owym prostokącie nie mieści się wraz ze swoim otoczeniem (bo ten dany punkt znajduje się zbyt blisko brzegu), to nie można dla niego policzyć wartości funkcji, zależnej od otoczenia. Zatem z danego prostokątu uzyskuje się nieco mniejszy prostokąt, w którym wyliczenia są prawidłowe. Gdy go znowu procesujemy, przy czym znowu wymagane jest do obliczeń pewne otoczenie danego punktu, to nasz wartościowy prostokąt znowu się kurczy. Problem ten w zasadzie rozwiązuje się, ale nie za darmo. Program, który byłby elegancki w przypadku pełnego  Z2,  jest nieco mniej elegancki w praktyce, bo trzeba sztukować. Wynika stąd, że teoretycznie lepiej podstawowymi problemami procesowania obrazów zajmować się, używając  Z2,  a sztukować dopiero w praktyce. Zresztą sztukowanie też można ropatrywać jako oddzielny problem teoretyczny (trochę teoretyczny :-)).

W matematyce i fizyce skończony hardware może czasami być dokładnie tym, czego się potrzebuje, gdy go odpowiednio skonfigurować na brzegach, tak że funkcjonalnie nia ma wtedy żadnych brzegów. Bo jak w przykładach z porami roku i dniami tygodnia, przestrzeń wektorowa może być nieskończona, a przestrzeń punktów wszystko jedno skończona.


Także ten post powinien być skończony, i takim go w tej chwili uczynię, z nadzieją na kontynuowanie wkrótce.

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s

  1. WhoWheWha (in progress)
  2. The sharpest minds ever
  3. California – State – USA – Knol Authors – Knols – Education
  4. Money — economy (part 1)
  5. “california rains”
  6. Pairs, Kuratowski pairs, and reality
  7. Number Theory — congruences
  8. Matematyka – esej
  9. Congruence x^2 ≡ -1 mod p (Euler), and a super-Wilson theorem.
  10. Dabanese – dictionary (1)
  11. Dabanese syntax
  12. Dabanese — a general introduction
  13. Tentative dabanese dictionary (1)
  14. Fractions and diophantine approximations, I
  15. Mathematics — index
  16. Reflections on mathematics (migma)
  17. Special characters & HTML strings
  18. Infinitude of primes – 1
  19. Reference
  20. Geometric progression
  21. Ergänzungssatz: x^2 ≡ 2 mod p; and more.
  22. Primes in arithmetic progressions (part I)
  23. Euler introduction to Gauss quadratic reciprocity
  24. Trigonometry of a triangle–sinus & cosinus
  25. Wlodzimierz Holsztynski, knolog
  26. Tichonov product
  27. Factorization in semigroups
  28. Nowe knole
  29. Knole w języku polskim
  30. Metric spaces — introduction
  31. Topology — compact spaces II
  32. Topology–singular spaces
  33. the last summer concert in san jose
  34. California in poetry
  35. threeway
  36. san jose blues
  37. san francisco blues
  38. open your arcs
  39. Tom Wachtel, [I was running out of …]
  40. Tom Wachtel, [on the sand at…]
  41. “september”
  42. Topological sequences and convergence
  43. Topology–Arkhangelskii nets
  44. Topology–compact spaces I
  45. Topological product of two spaces. Hausdorff spaces.
  46. Trigonometry
  47. Total logarithmic series
  48. “affinity”
  49. [close your eyes…]
  50. “San Jose”
  51. willow girl
  52. heaven california
  53. “phase transitions”
  54. “california?”
  55. “dimensions”
  56. bachelor life
  57. “spring in california”
  58. [day -]
  59. Singular product of two spaces. Double limit.
  60. Art of Agreeing — painless tax
  61. The Birkhoff lattice of topologies
  62. Left topologies
  63. Topology — Kolmogorov axiom
  64. Topological subbases and bases
  65. Complexity of sorting
  66. ∞-Metrics
  67. Even perfect numbers and Mersenne primes
  68. Fermat sequence base b
  69. Harmonic series & Euler’s gamma
  70. 4-Baroque numbers with utmost 4 different prime divisors
  71. 3-Baroque numbers with utmost 3 different prime divisors
  72. Mathematical notation
  73. Baroque numbers – 2
  74. Number theory — ideals in Z, and the greatest common divisor
  75. Baroque numbers – 1
  76. Infinitude of primes – 2
  77. Number theory — Gothic numbers
  78. log and exp–a constructive and an axiomatic approaches
  79. Aleksandrov 2-point space
  80. Topology — short-short introduction
  81. Art of Agreeing — patent law
  82. Topology — the closure operation
  83. Integration of monotone functions
  84. The ground level properties of integral
  85. Metric spaces universal for 2-point spaces
  86. Products of bounded primes
  87. Sequences of pairwise coprime integers
  88. Mathematics — right triangles
  89. Art of Agreeing — United Nations
  90. Mathematics — two definitions
  91. Government wa(steful wa)ys
  92. Art of Agreeing — index
  93. Metric universality of (R^n d_m) — part 2
  94. Iso-graphs of metric maps into R (part 1)
  95. Metric universality of (R^n d_m) — part 1
  96. Metric spaces universal for 3- and 4-point spaces
  97. Number theory–units, composites, and primes
  98. Social life & energy saving
  99. Topological spaces and continuous mappings. Isolated points.
  100. Topological weight
  101. Mathematics — Euclid-Heron area of a triangle
  102. Connected spaces
  103. Art of Agreeing — marriage versus law & government
  104. Art of Agreeing — introduction
  105. Dabanese — index
  106. Linear orders in topological spaces
  107. Topological cuts and miscuts
  108. Closed sets. T1-spaces.
  109. Topology — the interior operation
  110. Mathematics — triangles
  111. Continuity of the piecewise continuous functions
  112. Topological subspaces
  113. Art of Agreement — medical insurance
  114. Art of Agreeing — business & stock market
%d bloggers like this: