Szybki wstęp do algebry przekształceń obrazów. Cz. 0

· blog
Authors

Skoro w pierwszym rzędzie te noty o procesowaniu obrazów są dla buzza, to pozwolę sobie na wspomnienie. Konkurencja o granty rządowe wśród instytutów i firm (łącznie z uniwersytetami) jest ostra. Także, lub raczej szczególnie, pomiedzy grupami specjalistów z tej samej firmy. Gdy do środowiska, zajmującego się Image Processing, wprowadziłem w 1977 roku Algebrę Przekształceń Obrazów, to czujne uszy odnotowały nowe dla środowiska dźwięki, co zresztą osobiście dało mi praktycznie niewiele nawet w terminach zwykłego szacunku. Tym niemniej szybko zaczęto używać podobnych, dobrze brzmiących słów. Tyle, że ja zajmowałem się algebrą przekształceń obrazów, a oni algebrą obrazów. Przecież brzmieli równie abstrakcyjnie i atrakcyjnie, a przy tym prościej :-). Rzeczywiście, z dobrym matematykiem, Wayne Lawtonem, napisaliśmy w 1980 ambitny proposal na jakieś 6 stron, oparty na algebrze przekształceń. Przegraliśmy w Waszyngtonie z proposalem naszych kolegów, w którym opisali oni cel obiektywnie zilion razy mniej ambitny. Mieli Algebrę Obrazów w tytule, i we wstępie, mimo że planowali zajmować się rzemieślniczo czymś bardzo szczególnym, i żadnej algebry nie rozwijali. No i ich proposal miał około sto stron, chyba więcej. Moja firma nawet wysłała mnie do Waszyngtonu, gdzie rozmawiałem z człowiekiem odpowiedzialnym za przyznanie grantu, z niejakim kapitanem P. Pojęcia o niczym nie miał 🙂


Kolejnymi czterema podstawowymi pojęciami procesowania obrazów są

  • kanwa obrazu;
  • obraz i przestrzeń wszystkich obrazów (danego typu);
  • przekształcenie kowariantne obrazów;
  • algebra kowariantnych przekształceń obrazów

W ramach wstępu, za kanwę przyjmijmy pokratkowaną płaszczyznę, czyli formalnie Z2, gdzie Z jest pierścieniem liczb całkowitych … -2 -1 0 1 2 … Trochę to brzmi bardziej teoretycznie niż praktycznie, ta nieskończoność kanwy, ale zgódźmy się we wstępie na to uproszczenie. Zresztą przypadek między innymi takiej właśnie kanwy dla teorii jest pożyteczny.

Następnie rozpatrujemy różne zbiory kolorów; na przykład:

  • Dla obrazów czarno-białych za zbiór kolorów możemy przyjąć C := {0 1}, gdzie 0 oznacza kolor czarny, a 1 – kolor biały. Nieważne jak kodujemy, byle konsekwentnie.
  • Dla obrazów monochromatycznych, których punkty mają różne stopnie jasności, często za zbiór kolorów przyjmuje się skalę szarości, na przykład od 0 do 255 – wtedy mówimy o 8-bitowym kolorze (lub o 8-bitowej skali szarości). Wtedy przyjmujemy C := {0 1}8.
  • Dla palety RGB używa się mieszanki koloru czerwonego (Red), zielonego (Green) oraz niebieskiego (Blue)), po osiem nitów na każdy z tych trzech kolorów, tak że możemy na przykład przyjąć C := {0 1}24.

Obrazem, malowanym zbiorem kolorów C, nazywamy dowolne odwzorowanie

f : Z2 –> C

Rowność  f(-5 12) = c  możemy na głos odczytać jako: kropka (-5 12) w obrazie f jest koloru c.

Zbiór wszystkich obrazów na kanwie Z2, o kolorach ze zbioru C, nazywamy przestrzenią

Map(Z2 C)

Hardwere’owo wyobrażamy sobie, że w każdym punkcie kraty Z2 umiszczona jest komórka, z pamięcią (magazynem :-)), zdolnym pomieścić informację o kolorze (i prawdopodobnie więcej). Zatem w przypadku 8-bitowej skali jasności, komórka taka musie mieć co najmniej 8 bitów pamięci w tej czy innej postaci (registry, RAM, shift register, itp). I matematycznie i często hardwere’owo następujące dwie przestrzenie obrazów o kanwach

Z2  oraz  Z2 × {0 1 2 3 4 5 6 7}

są równoważne, mianowicie:

Map(Z2 {0 1}8)

oraz

Map(Z2 × {0 1 2 3 4 5 6 7} {0 1})

Druga postać jest bardziej zbliżona do tego, co się naprawdę w elektronice dzieje, ale raczej pierwsza jest teoretycznie elastyczniejsza. To dobrze, że praktyczne frazy dopuszczają zgrabne teoretyczne synonimy.

Pry okazji widzimy, że z każdym dodatkowym bitem pamięci komórkowej liczba kolorów podwaja się.

Żeby zobaczyć przewagę prostej kanwy z bogatym zbiorem kolorów nad złożoną kanwą z prostym zbiorem kolorów, zastanówcie się nad zbiorem kolorów postaci C := A×B. Kiedy A=B, to możemy daną kanwę K zastąpić przez powdwójną K×{0 1} oraz zbiór kolorów C przez A. Jednak dla A B różnych, sprawa się komplikuje.

W praktyce elektronicznej, kolory kodujemy za pomocą 0-1 bitów, więc dwie formy przestrzeni obrazów zlewają się w umyśle w jedną.

Łatwiej rozpatrywać kolory A oraz B niż C := A×B. Na czym więc polega komplikacja związana z uproszczeniem kolorów? Zamiast jednej przestrzeni, koniecznym jest ropatrywać konstrukcję z dwóch, która to konstrukcja sama nie jest po prostu przestrzenią obrazów – może to nie szkodzi, może nie jest to komplikacją? Oto co się dzieje – istotnie, zachodzi prawo rozdzielności:

Map(K A×B) = Map(K A) × Map(K B)

W przypadku palety RGB, każdy obraz jest równoważny trójce obrazów – czerwonemu, zielonemu i niebieskiemu. Wie o tym każdy grafik komputerowy.

UWAGA: Widzimy, że standardowe konstrukcje teoriomnogościowe i algebraiczne nabierają życia i soczystości w kontekście procesowania obrazów.

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s

  1. WhoWheWha (in progress)
  2. The sharpest minds ever
  3. California – State – USA – Knol Authors – Knols – Education
  4. Money — economy (part 1)
  5. “california rains”
  6. Pairs, Kuratowski pairs, and reality
  7. Number Theory — congruences
  8. Matematyka – esej
  9. Congruence x^2 ≡ -1 mod p (Euler), and a super-Wilson theorem.
  10. Dabanese – dictionary (1)
  11. Dabanese syntax
  12. Dabanese — a general introduction
  13. Tentative dabanese dictionary (1)
  14. Fractions and diophantine approximations, I
  15. Mathematics — index
  16. Reflections on mathematics (migma)
  17. Special characters & HTML strings
  18. Infinitude of primes – 1
  19. Reference
  20. Geometric progression
  21. Ergänzungssatz: x^2 ≡ 2 mod p; and more.
  22. Primes in arithmetic progressions (part I)
  23. Euler introduction to Gauss quadratic reciprocity
  24. Trigonometry of a triangle–sinus & cosinus
  25. Wlodzimierz Holsztynski, knolog
  26. Tichonov product
  27. Factorization in semigroups
  28. Nowe knole
  29. Knole w języku polskim
  30. Metric spaces — introduction
  31. Topology — compact spaces II
  32. Topology–singular spaces
  33. the last summer concert in san jose
  34. California in poetry
  35. threeway
  36. san jose blues
  37. san francisco blues
  38. open your arcs
  39. Tom Wachtel, [I was running out of …]
  40. Tom Wachtel, [on the sand at…]
  41. “september”
  42. Topological sequences and convergence
  43. Topology–Arkhangelskii nets
  44. Topology–compact spaces I
  45. Topological product of two spaces. Hausdorff spaces.
  46. Trigonometry
  47. Total logarithmic series
  48. “affinity”
  49. [close your eyes…]
  50. “San Jose”
  51. willow girl
  52. heaven california
  53. “phase transitions”
  54. “california?”
  55. “dimensions”
  56. bachelor life
  57. “spring in california”
  58. [day -]
  59. Singular product of two spaces. Double limit.
  60. Art of Agreeing — painless tax
  61. The Birkhoff lattice of topologies
  62. Left topologies
  63. Topology — Kolmogorov axiom
  64. Topological subbases and bases
  65. Complexity of sorting
  66. ∞-Metrics
  67. Even perfect numbers and Mersenne primes
  68. Fermat sequence base b
  69. Harmonic series & Euler’s gamma
  70. 4-Baroque numbers with utmost 4 different prime divisors
  71. 3-Baroque numbers with utmost 3 different prime divisors
  72. Mathematical notation
  73. Baroque numbers – 2
  74. Number theory — ideals in Z, and the greatest common divisor
  75. Baroque numbers – 1
  76. Infinitude of primes – 2
  77. Number theory — Gothic numbers
  78. log and exp–a constructive and an axiomatic approaches
  79. Aleksandrov 2-point space
  80. Topology — short-short introduction
  81. Art of Agreeing — patent law
  82. Topology — the closure operation
  83. Integration of monotone functions
  84. The ground level properties of integral
  85. Metric spaces universal for 2-point spaces
  86. Products of bounded primes
  87. Sequences of pairwise coprime integers
  88. Mathematics — right triangles
  89. Art of Agreeing — United Nations
  90. Mathematics — two definitions
  91. Government wa(steful wa)ys
  92. Art of Agreeing — index
  93. Metric universality of (R^n d_m) — part 2
  94. Iso-graphs of metric maps into R (part 1)
  95. Metric universality of (R^n d_m) — part 1
  96. Metric spaces universal for 3- and 4-point spaces
  97. Number theory–units, composites, and primes
  98. Social life & energy saving
  99. Topological spaces and continuous mappings. Isolated points.
  100. Topological weight
  101. Mathematics — Euclid-Heron area of a triangle
  102. Connected spaces
  103. Art of Agreeing — marriage versus law & government
  104. Art of Agreeing — introduction
  105. Dabanese — index
  106. Linear orders in topological spaces
  107. Topological cuts and miscuts
  108. Closed sets. T1-spaces.
  109. Topology — the interior operation
  110. Mathematics — triangles
  111. Continuity of the piecewise continuous functions
  112. Topological subspaces
  113. Art of Agreement — medical insurance
  114. Art of Agreeing — business & stock market
%d bloggers like this: